Bac français : les équations différentielles en Terminale

Smartprof

• mai 13, 2025

En Terminale du bac français, les équations différentielles sont un concept clé dans le programme de mathématiques. Bien qu’elles puissent sembler complexes au premier abord, elles sont essentielles pour modéliser et résoudre des problèmes dans des domaines aussi variés que la physique, l’économie ou même la biologie. Dans cet article, nous vous expliquerons les méthodes de résolution des équations différentielles, ainsi que leurs applications pratiques. Nous vous fournirons aussi des ressources pour approfondir vos connaissances et vous préparer efficacement à l’examen.

1. Qu’est-ce qu’une équation différentielle (bac français) ?

Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs fonctions et leurs dérivées. En d’autres termes, elle lie la fonction inconnue à sa variation (ou dérivée) par rapport à une ou plusieurs variables indépendantes. Par exemple, l’équation suivante est une équation différentielle de premier ordre : dydx=3×2\frac{dy}{dx} = 3x^2dxdy​=3×2

Cela signifie que le taux de variation de la fonction yyy par rapport à xxx est proportionnel à x2x^2×2.

2. Les différents types d’équations différentielles en Terminale du bac français

En Terminale, vous rencontrerez principalement deux types d’équations différentielles : les équations différentielles linéaires et les équations différentielles séparables.

2.1 Les équations différentielles séparables

Les équations différentielles séparables sont celles où les termes contenant yyy sont d’un côté de l’équation et ceux contenant xxx de l’autre côté. Voici un exemple typique : dydx=3xy\frac{dy}{dx} = \frac{3x}{y}dxdy​=y3x​

Pour résoudre cette équation, vous devez séparer les variables xxx et yyy, puis intégrer les deux côtés : y dy=3x dxy \, dy = 3x \, dxydy=3xdx

Ensuite, il suffit de procéder à l’intégration de chaque côté : ∫y dy=∫3x dx\int y \, dy = \int 3x \, dx∫ydy=∫3xdx

Cela donne : y22=3×22+C\frac{y^2}{2} = \frac{3x^2}{2} + C2y2​=23×2​+C

Où CCC est la constante d’intégration.

Astuce : Les équations séparables sont relativement simples à résoudre. Il suffit de bien séparer les variables avant d’intégrer.

2.2 Les équations différentielles linéaires

Les équations différentielles linéaires de premier ordre ont la forme suivante : dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)dxdy​+P(x)y=Q(x)

Dans ce type d’équation, P(x)P(x)P(x) et Q(x)Q(x)Q(x) sont des fonctions de xxx, et yyy est la fonction inconnue. Pour résoudre cette équation, il existe une méthode appelée méthode du facteur intégrant.

Exemple : Résolvons l’équation suivante : dydx+2y=4x\frac{dy}{dx} + 2y = 4xdxdy​+2y=4x

1. Calculer le facteur intégrant : Le facteur intégrant est donné par : μ(x)=e∫P(x) dx\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}μ(x)=e∫P(x)dx Dans notre exemple, P(x)=2P(x) = 2P(x)=2, donc : μ(x)=e2x\mu(x) = e^{2x}μ(x)=e2x
2. Multiplier l’équation par le facteur intégrant : En multipliant l’ensemble de l’équation par e2xe^{2x}e2x, on obtient : e2xdydx+2e2xy=4xe2xe^{2x} \frac{dy}{dx} + 2e^{2x} y = 4x e^{2x}e2xdxdy​+2e2xy=4xe2x L’expression à gauche devient la dérivée de y⋅e2xy \cdot e^{2x}y⋅e2x, ce qui simplifie l’équation.
3. Intégrer : Vous intégrez chaque côté de l’équation, puis vous résolvez pour yyy.

Conseil : Cette méthode peut sembler plus compliquée, mais elle reste systématique et efficace. Il suffit de suivre les étapes, et d’intégrer correctement les expressions.

3. Applications des équations différentielles pour la Terminale du bac français

Les équations différentielles ne sont pas seulement un exercice théorique. Elles sont utilisées pour modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines variés.

3.1 En physique : la loi du refroidissement de Newton

En physique, les équations différentielles sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes naturels. Prenons par exemple la loi du refroidissement de Newton, qui décrit comment la température d’un objet change avec le temps. La loi stipule que le taux de variation de la température T(t)T(t)T(t) d’un objet est proportionnel à la différence entre la température de l’objet et celle de l’environnement. L’équation différentielle associée est : dTdt=−k(T−Tenv)\frac{dT}{dt} = -k (T – T_{\text{env}})dtdT​=−k(T−Tenv​)

Où kkk est une constante positive, TenvT_{\text{env}}Tenv​ est la température de l’environnement, et T(t)T(t)T(t) est la température de l’objet à un instant donné. Cette équation est séparable, et vous pouvez l’intégrer pour obtenir la température de l’objet à n’importe quel moment.

3.2 En économie : la croissance démographique

En économie, les équations différentielles sont utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la croissance démographique. La formule de la croissance exponentielle est une équation différentielle simple : dPdt=rP\frac{dP}{dt} = rPdtdP​=rP

Où P(t)P(t)P(t) est la population à un moment ttt, et rrr est le taux de croissance de la population. Cette équation décrit une population croissante ou décroissante de manière exponentielle, selon la valeur de rrr. La solution à cette équation est de la forme : P(t)=P0ertP(t) = P_0 e^{rt}P(t)=P0​ert

Où P0P_0P0​ est la population initiale.

4. Méthodes pour résoudre les équations différentielles efficacement pour la Terminale

4.1 Utilisez des ressources en ligne pour pratiquer

Pour bien maîtriser les équations différentielles, il est essentiel de s’entraîner régulièrement. Plusieurs ressources en ligne vous permettront de pratiquer :

• Khan Academy : Cette plateforme propose des vidéos détaillées sur les équations différentielles et des exercices pratiques pour tester vos compétences.
• Desmos : Un outil interactif pour visualiser les solutions des équations différentielles en temps réel.
• Wolfram Alpha : Pour résoudre rapidement des équations différentielles et voir les étapes de la solution.

4.2 Faites des exercices d’application

Les exercices pratiques sont la clé pour comprendre les applications des équations différentielles. Voici quelques idées :

• Exercice 1 : Résoudre une équation différentielle modélisant le refroidissement d’un objet en fonction du temps.
• Exercice 2 : Résoudre une équation différentielles pour modéliser une population croissante ou décroissante.

Conseil pratique : Commencez par des équations simples avant de passer à des problèmes plus complexes. Cela vous permettra de bien comprendre les concepts avant d’aborder des applications plus difficiles.

Conclusion

Les équations différentielles sont un aspect fondamental des mathématiques en Terminale, avec des applications pratiques dans de nombreux domaines. Que vous traitiez des équations séparables ou linéaires, chaque méthode offre des stratégies spécifiques pour résoudre les problèmes. En suivant des étapes claires et en pratiquant régulièrement, vous deviendrez compétent dans la résolution des équations différentielles. N’oubliez pas d’utiliser les ressources en ligne pour améliorer vos compétences et approfondir vos connaissances. Bonne révision !