Les dérivées en Terminale

Smartprof

• mai 13, 2025

Les dérivées en Terminale sont l’un des concepts les plus importants du programme de mathématiques en Terminale. Elles sont utilisées pour analyser et résoudre une multitude de problèmes, que ce soit en physique, en économie ou dans d’autres domaines des sciences. Dans cet article, nous allons explorer les différentes applications des dérivées, et vous fournir des stratégies efficaces pour résoudre les exercices complexes. Avec les bonnes méthodes et une pratique régulière, vous serez prêt à aborder ces questions avec confiance.

1. Qu’est-ce qu’une dérivée en Terminale ?

Une dérivée représente le taux de variation d’une fonction par rapport à une variable. En d’autres termes, elle mesure la vitesse à laquelle une quantité change à un instant donné. La notation classique est :f′(x)oudfdxf'(x) \quad \text{ou} \quad \frac{df}{dx}f′(x)oudxdf​

Cela représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction en un point donné. En mathématiques, cela permet de décrire des phénomènes où il y a un changement continu.

2. Les applications des dérivées en Terminale

Les dérivées ont de nombreuses applications pratiques dans différents domaines. En physique et en économie, elles servent à résoudre des problèmes concrets.

2.1 Applications des dérivées en physique

En physique, les dérivées sont utilisées pour modéliser et analyser des phénomènes dynamiques tels que la vitesse, l’accélération, et d’autres grandeurs qui varient avec le temps.

Exemple : Calcul de la vitesse et de l’accélération

Prenons un exemple où une fonction s(t)s(t)s(t) décrit la position d’un objet en fonction du temps ttt. La dérivée de s(t)s(t)s(t), notée v(t)v(t)v(t), donne la vitesse de l’objet à un moment donné :v(t)=dsdtv(t) = \frac{ds}{dt}v(t)=dtds​

De même, la dérivée de v(t)v(t)v(t), notée a(t)a(t)a(t), donne l’accélération de l’objet :a(t)=dvdta(t) = \frac{dv}{dt}a(t)=dtdv​

Conseil pratique : Pour résoudre ces problèmes, commencez par identifier les fonctions de position, vitesse et accélération, puis appliquez les règles de dérivation pour obtenir les expressions correspondantes.

2.2 Applications des dérivées en économie

Les dérivées jouent également un rôle crucial en économie, notamment dans l’étude de l’optimisation et des coûts marginaux.

Exemple : Maximisation du profit

Supposons qu’une fonction C(x)C(x)C(x) représente le coût total de production d’un certain nombre d’unités xxx. La dérivée de C(x)C(x)C(x), notée C′(x)C'(x)C′(x), représente le coût marginal, c’est-à-dire le coût supplémentaire pour produire une unité supplémentaire. Si P(x)P(x)P(x) est la fonction du revenu généré par la vente de xxx unités, le profit P(x)−C(x)P(x) – C(x)P(x)−C(x) peut être maximisé en trouvant où la dérivée du profit est égale à zéro, c’est-à-dire :ddx(P(x)−C(x))=0\frac{d}{dx} \left( P(x) – C(x) \right) = 0dxd​(P(x)−C(x))=0

Cela vous permet de déterminer le nombre optimal d’unités à produire pour maximiser le profit.

3. Stratégies pour résoudre les exercices complexes de dérivées en Terminale

Les exercices complexes impliquent souvent plusieurs étapes et nécessitent une compréhension approfondie des règles de dérivation. Voici quelques stratégies pour réussir :

3.1 Comprendre les règles de dérivation de base

Il existe plusieurs règles de dérivation à maîtriser pour résoudre les problèmes. Les plus courantes sont :

• La règle de la somme : La dérivée de f(x)+g(x)f(x) + g(x)f(x)+g(x) est f′(x)+g′(x)f'(x) + g'(x)f′(x)+g′(x).
• La règle du produit : La dérivée de f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)f(x)⋅g(x) est f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
• La règle du quotient : La dérivée de f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​ est f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2\frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}[g(x)]2f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)​.
• La règle de la chaîne : La dérivée de f(g(x))f(g(x))f(g(x)) est f′(g(x))⋅g′(x)f'(g(x)) \cdot g'(x)f′(g(x))⋅g′(x).

Conseil pratique : Apprenez ces règles et pratiquez-les régulièrement pour les intégrer dans vos révisions. Elles sont indispensables pour résoudre des problèmes complexes.

3.2 Décomposer les problèmes complexes

Lorsque vous faites face à un problème complexe, décomposez-le en plusieurs petites étapes. Par exemple :

1. Identifiez les fonctions impliquées : Que représente chaque fonction ?
2. Appliquez les règles de dérivation : Utilisez les règles appropriées pour chaque terme.
3. Interprétez les résultats : Une fois que vous avez trouvé la dérivée, assurez-vous de comprendre ce qu’elle représente dans le contexte du problème.

3.3 Résoudre des équations différentielles simples

Les équations différentielles sont des équations où la dérivée d’une fonction est égale à une autre fonction. Pour résoudre ces équations, vous devez souvent séparer les variables, intégrer chaque côté et appliquer les conditions initiales. Par exemple :dydx=y\frac{dy}{dx} = ydxdy​=y

Cette équation a pour solution y=Cexy = Ce^xy=Cex, où CCC est une constante déterminée par les conditions initiales.

4. Exercices pratiques à réaliser pour les dérivées en Terminale

Voici quelques exemples d’exercices pour tester vos compétences en dérivées :

Exercice 1 : Calcul de la vitesse et de l’accélération

Une voiture se déplace selon la fonction de position s(t)=5t2+2ts(t) = 5t^2 + 2ts(t)=5t2+2t. Calculez la vitesse et l’accélération de la voiture à t=3t = 3t=3.

Solution :

• La vitesse v(t)v(t)v(t) est la dérivée de s(t)s(t)s(t) :
  v(t)=dsdt=10t+2v(t) = \frac{ds}{dt} = 10t + 2v(t)=dtds​=10t+2.
• L’accélération a(t)a(t)a(t) est la dérivée de v(t)v(t)v(t) :
  a(t)=dvdt=10a(t) = \frac{dv}{dt} = 10a(t)=dtdv​=10.

À t=3t = 3t=3, v(3)=10(3)+2=32v(3) = 10(3) + 2 = 32v(3)=10(3)+2=32 et a(3)=10a(3) = 10a(3)=10.

Exercice 2 : Maximisation du profit

Une entreprise a une fonction de revenu R(x)=50x−0,5x2R(x) = 50x – 0,5x^2R(x)=50x−0,5×2 et une fonction de coût C(x)=20x+5C(x) = 20x + 5C(x)=20x+5. Trouvez le nombre d’unités xxx qui maximise le profit.

Solution : Le profit P(x)P(x)P(x) est donné par :P(x)=R(x)−C(x)=50x−0,5×2−(20x+5)P(x) = R(x) – C(x) = 50x – 0,5x^2 – (20x + 5)P(x)=R(x)−C(x)=50x−0,5×2−(20x+5)P(x)=30x−0,5×2−5P(x) = 30x – 0,5x^2 – 5P(x)=30x−0,5×2−5

La dérivée de P(x)P(x)P(x) est :P′(x)=30−xP'(x) = 30 – xP′(x)=30−x

Pour maximiser le profit, on résout P′(x)=0P'(x) = 0P′(x)=0, soit x=30x = 30x=30.

5. Ressources en ligne pour la pratique des dérivées en Terminale

Voici quelques ressources pour vous aider à approfondir vos connaissances et à pratiquer les dérivées :

• Khan Academy : Propose des vidéos et des exercices sur les dérivées et leurs applications dans différents domaines.
• Desmos : Un outil interactif pour visualiser des fonctions et leurs dérivées en temps réel.
• Wolfram Alpha : Permet de calculer rapidement des dérivées et de voir les étapes de chaque solution.

Conclusion

Les dérivées sont un concept fondamental en mathématiques et ont de nombreuses applications en physique et économie. En maîtrisant les règles de dérivation, en pratiquant régulièrement et en résolvant des exercices complexes, vous serez bien préparé pour l’examen. N’oubliez pas d’utiliser les ressources en ligne pour enrichir vos révisions et mieux comprendre les applications pratiques des dérivées. Bonne révision et bonne chance pour votre Terminale !