Les statistiques en 3ème paraissent souvent simples. Il faut calculer une moyenne, trouver une médiane ou déterminer une étendue. Pourtant, au Brevet, une erreur fréquente apparaît après le calcul.
En effet, obtenir le bon nombre ne suffit pas toujours.
Il faut également savoir expliquer ce que ce nombre signifie.
Ainsi, lorsqu’un exercice demande de comparer les résultats de deux classes, écrire uniquement « la moyenne est 13,4 » ne répond pas forcément à la question. Il faut comprendre ce que cette moyenne permet de conclure.
Dans le programme officiel français du cycle 4 applicable à la classe de 3e, les élèves doivent notamment savoir travailler avec les effectifs et les fréquences, mais aussi calculer et interpréter des indicateurs comme la moyenne, la médiane et l’étendue.
Ils doivent également savoir exploiter des données présentées sous différentes formes : données brutes, tableaux ou graphiques.
Voyons donc comment maîtriser les statistiques en 3e sans tomber dans les pièges classiques.
Statistiques en 3ème : avant de calculer, il faut comprendre les données
Imaginez la série suivante. Elle représente les notes obtenues par dix élèves à un contrôle :
8 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 15
Cette suite de nombres constitue une série statistique.
Chaque valeur correspond ici à une note.
Cependant, une série statistique peut représenter beaucoup d’autres choses :
- l’âge des élèves d’un groupe ;
- le nombre de buts inscrits par match ;
- une distance parcourue ;
- une température ;
- un temps de trajet ;
- une taille ;
- un nombre de livres lus.
Autrement dit, les statistiques servent à résumer et analyser un ensemble de données.
C’est précisément cette idée qu’il faut garder en tête au Brevet.
Première question à se poser
Avant tout calcul, demandez-vous :
Que représente la série ?
Ensuite seulement, identifiez ce que l’exercice demande.
Cherche-t-on une valeur moyenne ? Une fréquence ? Une valeur centrale ? Ou encore la dispersion des données ?
Cette première lecture évite déjà beaucoup d’erreurs.
1. Lire correctement une série statistique, statistiques en 3ème
Une série peut être présentée directement :
2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6
Cependant, lorsque les données sont nombreuses, elles sont souvent regroupées dans un tableau.
Prenons l’exemple du nombre de livres lus pendant un mois.
| Nombre de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d’élèves | 3 | 6 | 8 | 5 | 2 |
Ici, le nombre situé dans la première ligne représente une valeur.
La deuxième ligne correspond à son effectif.
Ainsi :
- 3 élèves n’ont lu aucun livre ;
- 6 élèves ont lu un livre ;
- 8 élèves en ont lu deux ;
- 5 élèves en ont lu trois ;
- 2 élèves en ont lu quatre.
Avant de commencer un exercice de statistiques au Brevet, il faut donc toujours distinguer la valeur observée de son effectif.
2. Effectif et fréquence : deux notions à ne pas confondre, statistiques en 3ème
L’effectif correspond au nombre de fois où une valeur apparaît.
Par exemple, si 8 élèves ont obtenu la note de 12/20, alors :
l’effectif de la note 12 est 8.
L’effectif total, quant à lui, correspond au nombre total d’observations.
Dans notre tableau précédent :
3 + 6 + 8 + 5 + 2 = 24
Il y a donc 24 élèves.
Comment calculer une fréquence en 3e ?
La fréquence permet de connaître la proportion représentée par une valeur.
La formule est :
Fréquence = effectif de la valeur ÷ effectif total
Prenons les 8 élèves ayant lu deux livres.
La fréquence est :
8 ÷ 24 = 1/3 ≈ 0,333
En pourcentage :
0,333 × 100 ≈ 33,3 %
On peut donc écrire :
Environ 33,3 % des élèves ont lu deux livres pendant le mois.
Voilà la différence essentielle.
L’effectif répond à :
« Combien ? »
La fréquence répond plutôt à :
« Quelle proportion ? »
3. Calculer une moyenne en 3e, statistiques en 3ème
La moyenne en 3e est certainement l’indicateur statistique le plus connu.
Pour une série simple, la formule est :
Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs
Prenons la série suivante :
9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 14
On calcule d’abord la somme :
9 + 11 + 12 + 14 + 14 = 60
Puis :
60 ÷ 5 = 12
La moyenne est donc 12.
Mais que signifie réellement cette moyenne ?
C’est ici que l’interprétation devient importante.
On peut écrire :
La note moyenne obtenue par les cinq élèves est de 12/20.
En revanche, cela ne signifie pas qu’un élève a obligatoirement obtenu 12.
Une moyenne est un indicateur qui résume l’ensemble de la série.
Calculer une moyenne avec des effectifs
Au Brevet, les données apparaissent souvent dans un tableau.
Prenons cet exemple :
| Nombre de séances de sport | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Nombre d’élèves | 2 | 5 | 7 | 6 |
Il serait faux de calculer :
(0 + 1 + 2 + 3) ÷ 4
Pourquoi ?
Parce que chaque valeur n’apparaît pas le même nombre de fois.
Il faut prendre les effectifs en compte.
On calcule donc :
(0 × 2 + 1 × 5 + 2 × 7 + 3 × 6) ÷ (2 + 5 + 7 + 6)
Soit :
(0 + 5 + 14 + 18) ÷ 20
Donc :
37 ÷ 20 = 1,85
Les élèves pratiquent donc en moyenne 1,85 séance de sport sur la période étudiée.
Le réflexe à retenir est simple :
valeur × effectif, puis on additionne.
4. Médiane en 3e : trouver le centre de la série, statistiques en 3ème
La médiane en 3e est souvent confondue avec la moyenne.
Pourtant, les deux notions sont très différentes.
La médiane partage une série ordonnée en deux groupes.
En simplifiant :
au moins 50 % des données sont inférieures ou égales à la médiane et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales.
Mais attention.
Avant de chercher une médiane, une étape est indispensable :
Toujours ranger les valeurs dans l’ordre croissant.
Prenons :
3 ; 7 ; 4 ; 9 ; 5
On commence par ranger :
3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9
Il y a 5 valeurs.
La valeur située au centre est la troisième.
La médiane est donc :
5
Que se passe-t-il avec un nombre pair de valeurs ?
Prenons maintenant :
4 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12
Il y a 6 valeurs.
Le milieu se situe donc entre la 3e et la 4e valeur.
Ici :
7 et 9
Dans cette situation, on peut choisir une valeur située entre ces deux nombres pour partager la série en deux groupes de même effectif. Dans les exercices scolaires, on retient généralement la moyenne de ces deux valeurs :
(7 + 9) ÷ 2 = 8
La médiane vaut alors 8.
5. Moyenne ou médiane : pourquoi les deux peuvent raconter des histoires différentes
C’est l’une des idées les plus intéressantes des statistiques en 3e.
Considérons les salaires mensuels fictifs de cinq personnes :
1 500 € ; 1 600 € ; 1 600 € ; 1 700 € ; 8 000 €
La médiane est :
1 600 €
En revanche, la moyenne est :
(1 500 + 1 600 + 1 600 + 1 700 + 8 000) ÷ 5
Soit :
2 880 €
Or, quatre personnes sur cinq gagnent moins de 2 000 €.
Pourquoi la moyenne atteint-elle pourtant 2 880 € ?
Parce que la valeur 8 000 € tire fortement la moyenne vers le haut.
La médiane est beaucoup moins influencée par cette valeur extrême.
C’est pourquoi il faut comprendre ce que chaque indicateur mesure.
À retenir
La moyenne prend en compte toutes les valeurs.
La médiane s’intéresse principalement à la position des valeurs dans la série ordonnée.
Ainsi, deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en ayant des répartitions très différentes.
6. Étendue en 3e : mesurer la dispersion, statistiques en 3ème
L’étendue en 3e est très simple à calculer.
La formule est :
Étendue = valeur maximale − valeur minimale
Prenons :
4 ; 7 ; 7 ; 9 ; 11 ; 15
La plus petite valeur est 4.
La plus grande est 15.
Ainsi :
15 − 4 = 11
L’étendue vaut donc 11.
Mais, encore une fois, le calcul ne constitue qu’une partie du travail.
Que signifie une grande étendue ?
Cela indique que les valeurs sont réparties sur un intervalle relativement large.
À l’inverse, une petite étendue indique que les valeurs sont davantage regroupées.
Par exemple :
Classe A : étendue = 4 points
Classe B : étendue = 11 points
On peut alors écrire :
Les résultats de la classe A sont plus regroupés entre la valeur minimale et la valeur maximale que ceux de la classe B.
C’est beaucoup plus pertinent que d’écrire simplement :
4 < 11.
7. Lire un tableau ou un graphique en statistiques
Les données ne sont pas toujours données sous forme de liste.
Dans les exercices de statistiques en 3e, elles peuvent apparaître dans :
- un tableau ;
- un diagramme en bâtons ;
- un diagramme circulaire ;
- un histogramme ;
- une autre représentation graphique.
Il faut donc savoir extraire une information avant même de commencer les calculs.
Exemple
Supposons qu’un diagramme montre les moyens de transport de 200 élèves.
On lit que :
- 80 viennent en voiture ;
- 50 en bus ;
- 40 à pied ;
- 30 à vélo.
On peut immédiatement déterminer plusieurs informations.
Par exemple, la fréquence des élèves venant à vélo est :
30 ÷ 200 = 0,15
Donc :
15 % des élèves viennent à vélo.
Cependant, avant de calculer, vérifiez toujours :
- le titre du graphique ;
- les unités ;
- les graduations ;
- la légende ;
- l’effectif total.
Une mauvaise lecture du graphique peut fausser tout le reste de l’exercice.
8. Comparer deux séries statistiques : le vrai niveau attendu
Supposons maintenant que deux classes passent le même contrôle.
Classe A
Moyenne : 13/20
Médiane : 13/20
Étendue : 6
Classe B
Moyenne : 13/20
Médiane : 11/20
Étendue : 12
Quelle classe a les meilleurs résultats ?
La réponse n’est pas simplement :
« Elles sont identiques car elles ont la même moyenne. »
En effet, la moyenne n’est qu’un indicateur.
Les deux classes ont bien la même moyenne. Cependant, leur répartition diffère.
La classe A possède une médiane plus élevée.
De plus, son étendue est plus faible.
On peut donc écrire :
Les deux classes ont la même moyenne. Cependant, les résultats de la classe A sont davantage regroupés puisque son étendue est plus faible. De plus, sa médiane est supérieure à celle de la classe B.
Cette réponse utilise plusieurs indicateurs.
Elle est donc beaucoup plus solide.
9. La méthode des trois questions pour réussir les statistiques au Brevet
Face à un exercice de statistiques au Brevet, utilisez cette méthode.
Question 1 : qu’est-ce que je mesure ?
Identifiez clairement la donnée étudiée.
Par exemple :
- une note ;
- une durée ;
- une taille ;
- une distance ;
- un nombre de personnes.
Cela permet notamment de conserver la bonne unité dans la réponse.
Question 2 : quel indicateur me demande-t-on ?
Cherchez les mots-clés.
Moyenne → toutes les valeurs interviennent.
Médiane → on cherche une position centrale.
Étendue → maximum moins minimum.
Fréquence → effectif concerné divisé par effectif total.
Question 3 : que signifie mon résultat ?
Enfin, transformez le résultat mathématique en phrase.
C’est souvent cette dernière étape qui différencie un simple calcul d’une vraie réponse statistique.
10. Comment rédiger une interprétation correcte ?
Prenons quelques exemples.
Résultat obtenu
Moyenne = 14,2
Réponse insuffisante :
« La moyenne est 14,2. »
Meilleure réponse :
« La note moyenne des élèves de cette classe est de 14,2/20. »
Résultat obtenu
Médiane = 12
Une interprétation possible est :
« Au moins la moitié des élèves a obtenu une note inférieure ou égale à 12/20 et au moins la moitié a obtenu une note supérieure ou égale à 12/20. »
Résultat obtenu
Étendue = 9 secondes
Écrivez par exemple :
« Il y a 9 secondes d’écart entre le temps le plus faible et le temps le plus élevé de la série. »
Résultat obtenu
Fréquence = 0,35
Transformez-la si nécessaire :
0,35 = 35 %
Puis écrivez :
« 35 % des élèves appartiennent à cette catégorie. »
Ainsi, le correcteur voit immédiatement que vous comprenez le résultat.
11. Les pièges fréquents dans les exercices de statistiques au Brevet
Piège n°1 : oublier de ranger la série pour trouver la médiane
Une médiane ne se cherche pas dans une liste laissée dans le désordre.
Il faut commencer par classer les valeurs par ordre croissant.
Piège n°2 : confondre valeur et effectif
Dans un tableau, une valeur de 15 avec un effectif de 4 signifie que 15 apparaît quatre fois.
Cela ne signifie pas que la donnée vaut 4.
Piège n°3 : oublier les effectifs dans le calcul de la moyenne
Si une valeur apparaît plusieurs fois, elle doit compter plusieurs fois dans le calcul.
Ainsi :
valeur × effectif
est un réflexe essentiel.
Piège n°4 : confondre moyenne et médiane
La moyenne utilise toutes les valeurs.
La médiane dépend de leur position après classement.
Les deux résultats peuvent donc être très différents.
Piège n°5 : calculer l’étendue dans le mauvais sens
La formule est toujours :
maximum − minimum
et non l’inverse.
Une étendue n’est donc pas négative.
Piège n°6 : oublier de transformer une fréquence en pourcentage
Si vous obtenez :
0,27
cela correspond à :
27 %
Cependant, regardez attentivement ce que demande la question. Une fréquence peut être exprimée sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage selon le contexte.
Piège n°7 : oublier l’unité
Une étendue de temps s’exprime en secondes, minutes ou heures.
Une moyenne de taille s’exprime par exemple en centimètres.
Une moyenne de notes peut s’exprimer sur 20.
Par conséquent, pensez toujours au contexte.
Piège n°8 : donner un calcul sans répondre à la question
C’est probablement l’erreur la plus facile à éviter.
Après chaque calcul, écrivez une phrase.
Par exemple :
« La distance moyenne parcourue est donc de 4,8 km. »
La réponse devient immédiatement plus claire.
12. Mini-exercice de statistiques niveau 3e
Lors d’une course, huit élèves obtiennent les temps suivants, en secondes :
12 ; 14 ; 13 ; 15 ; 13 ; 16 ; 13 ; 20
Étape 1 : ranger la série
12 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 20
Étape 2 : calculer la moyenne
On additionne :
12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 15 + 16 + 20 = 116
Puis :
116 ÷ 8 = 14,5
Le temps moyen est donc de 14,5 secondes.
Étape 3 : déterminer la médiane
Il y a 8 valeurs.
On regarde donc les 4e et 5e valeurs :
13 et 14
Ainsi :
(13 + 14) ÷ 2 = 13,5
La médiane vaut 13,5 secondes.
Étape 4 : calculer l’étendue
20 − 12 = 8
L’étendue est donc de 8 secondes.
Étape 5 : interpréter
On peut écrire :
Le temps moyen est de 14,5 secondes. La médiane est de 13,5 secondes. Par ailleurs, 8 secondes séparent le meilleur temps du temps le plus élevé de la série.
On remarque également que le temps de 20 secondes augmente la moyenne.
Voilà précisément pourquoi moyenne et médiane apportent des informations complémentaires.
13. Comment réviser les statistiques en 3ème pour le Brevet ?
Pour progresser, il ne suffit pas d’apprendre quatre formules.
Il vaut mieux s’entraîner à reconnaître le bon outil.
Par exemple, lorsque vous voyez :
« proportion d’élèves », pensez fréquence.
Lorsque vous voyez :
« valeur moyenne », pensez moyenne.
Lorsque vous voyez :
« partage la série en deux groupes », pensez médiane.
Enfin, lorsque vous voyez :
« écart entre la plus grande et la plus petite valeur », pensez étendue.
Ensuite, entraînez-vous avec plusieurs présentations.
Une fois, utilisez une liste.
Puis, travaillez sur un tableau d’effectifs.
Ensuite, entraînez-vous avec un graphique.
Ainsi, vous apprendrez à analyser les données au lieu de simplement appliquer mécaniquement une formule.
14. La fiche express des statistiques en 3ème
Avant le Brevet, retenez ces quatre idées essentielles.
Moyenne
Somme des valeurs ÷ effectif total
Avec un tableau :
Somme des (valeur × effectif) ÷ effectif total
Médiane
On commence par ranger la série.
Ensuite, on cherche la valeur qui partage la série en deux parties.
Étendue
Valeur maximale − valeur minimale
Fréquence
Effectif de la catégorie ÷ effectif total
Puis, si nécessaire :
fréquence × 100 = pourcentage
statistiques en 3ème : calculer est important, interpréter l’est encore plus
Les statistiques en 3e ne sont donc pas seulement une succession de formules.
Bien sûr, il faut savoir calculer une moyenne en 3e, déterminer une médiane en 3e, trouver une étendue en 3e ou calculer une fréquence en 3e.
Cependant, il faut surtout comprendre ce que ces indicateurs racontent sur les données.
La moyenne donne une vision globale.
La médiane permet de situer le centre de la série.
L’étendue renseigne sur l’écart entre les valeurs extrêmes.
Enfin, la fréquence permet de mesurer la proportion occupée par une catégorie.
Au Brevet, le bon réflexe est donc simple :
je lis, je choisis l’indicateur, je calcule, puis j’interprète.
Cette dernière étape ne prend souvent qu’une phrase. Pourtant, elle peut transformer une réponse mécanique en véritable raisonnement statistique.
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